Построение графика функции

Разбор Д/З

Про графики

Базовая статья: FrBrGeorge/PythonScaleAndRotate

• Что такое график?
  • Отображение точек x:f(x)
  • ⇒ f(x) должно ∃

  • Ограничения по началу и концу (не бесконечный, а от A до

  • Количество точек в графике? Бесконечно много!
    • ⇒ отрезки, а не непрерывная кривая
    • ⇒ ломаная (N точек, N-1 отрезок)
• Черепашка и график синуса
  • Повторение: циклический конструктор списка:

      [ выражение for имя in последователоьность ]
        или
      [ выражение for имя, имя in последователоьность_пар]
        и т. п.
      Например, [i*2+1 for i in range(6)]

  • Подготовим черепашье поле

       1 >>> from math import *
       2 >>> from turtle import *
       3 >>> reset()
    

  • Точки — это пары координат (x, y)
  • График — это последовательность таких пар, например

       1 >>> graph = [(-200, -119), (-160, -100), (-120, -57), (-80, 0), (-40, 57), (0, 100), (40, 119), (80, 109), (120, 71), (160, 16), (200, -42)]
       2 >>> def drawgraph(gr):
       3   penup() # Сначала перейдём на начало графика
       4   for x,y in gr:
       5     goto(x,y)
       6     pendown()
       7 
       8 >>> drawgraph(graph)
    

  • Попробуем нарисовать график синуса:

       1 >>> reset()
       2 >>> graph = [(i,sin(i)) for i in range(-100,100)]
       3 >>> drawgraph(graph)
    

    • Фигня какая-то: волняшки слишком частые, но слишком невысокие
  • Масштаб по X и Y:

       1 >>> reset()
       2 >>> graph = [(i,sin(i/20)*60) for i in range(-100,100)]
       3 >>> drawgraph(graph)
    

    • Но это уже непонятно чего график. В каких границах?

Попробуем разобраться

В следующих примерах окно python3 не надо закрывать, иначе придётся заново импортировать math, turtle и определять функции drawgraph() и scale()

Ну, или положить код в файл

• График как список координат
  • В заборе 10 досок, значит, в нём 9 щелей!

  • Количество замеров: график функции f(x) на интервале [a,b]

    • — это ломаная, которая начинается в точке (a,f(a)), а заканчивается в точке (b, f(b)).

    • Если в ней N вершин, то отрезков в ней N-1.

    • Абсциссы вершин находятся на равном расстоянии друг от друга, т. е. на расстоянии (b-a)/(N-1)

  • Допустим, вершин у нас 10, значит, отрезков 9; допусти также, что a=-6, b=3

    • Расстояние между абсциссами (3-(-6))/9 == 1

    • абсцисса 0-й вершины — начало интервала, a, т. е. -6

    • абсцисса 1-й вершины — начало отрезка + первый отрезок, т. е a+(b-a)/(N-1), т. е. -6+1*1 == -5

    • абсцисса 2-й вершины — начало отрезка + первых два отрезка, т. е a+2*(b-a)/(N-1), т. е. -6+2*1 == -4

    • …

    • абсцисса 8-й (№ N-2) вершины — a+(N-2)*(b-a)/(N-1), т. е. -6+8*1 == 2

    • абсцисса 9-й (№ N-1) вершины — a+(N-1)*(b-a)/(N-1), т. е. -6+9*1 == 2 (т. е. b)

         1 >>> a, b = -6, 3
         2 >>> N=10
         3 >>> X = [a+i*(b-a)/(N-1) for i in range(N)]
         4 >>> X
         5 [-6.0, -5.0, -4.0, -3.0, -2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0]
         6 
      

      Соответственно, значения функции f(x) в этих точках (предположим, f — это sin):

         1 >>> from math import *
         2 >>> f=sin
         3 >>> Y = [f(x) for x in X]
         4 >>> Y
         5 [0.27941549819892586, 0.9589242746631385, 0.7568024953079282, -0.1411200080598672, -0.9092974268256817, -0.8414709848078965, 0.0, 0.8414709848078965, 0.9092974268256817, 0.1411200080598672]
         6 
      

• Функция масштабирования+переноса (да, это аффинные преобразования, только никому не говорите, а то испугаются).

  • (см. статью) Чтобы превратить точку x₀ из диапазона a₀,b₀ в точку x₁ из диапазона a₁,b₁, надо:

  • составить пропорцию x₀ делит отрезок a₀,b₀ в той же пропорции, что и x₁ делит отрезок a₁,b₁

  • т. е. (x₀-a₀)/(b₀-a₀) = (x₁-a₁)/(b₁-a₁)

  • и x₁ = (x₀-a₀)/(b₀-a₀)*(b₁-a₁)+a₁

    • 

  • Напишем функцию scale(), которая это вычисляет:

       1 >>> def scale(x, a0, b0, a1, b1):
       2     """превратить точку x из диапазона a0,b0 в точку x1 из диапазона a1,b1"""
       3     return (x-a0)/(b0-a0)*(b1-a1)+a1
       4 
       5 >>> scale(10,-100,100,-10,10)
       6 1.0
       7 
    

  • То есть список из N штук x-координат точек графика можно представить как scale() счётчика i из диапазона 0,N-1 в диапазон a,b:

       1 >>> N=10
       2 >>> a,b = -6, 3
       3 >>> X = [a+i*(b-a)/(N-1) for i in range(N)]
       4 >>> X
       5 [-6.0, -5.0, -4.0, -3.0, -2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0]
       6 >>> X = [scale(i, 0, N-1, a, b) for i in range(N)]
       7 >>> X
       8 [-6.0, -5.0, -4.0, -3.0, -2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0]
       9 
    

• Координаты исходного графика vs координаты на экране

  • Таким образом, в исходном графике функции f(x) x-коорднаты меняются в заданном интервале, а x-координаты — в пределах области значений функции f(x) на этом интервале. Диапазон по x мы задаём, а вот диапазон по y, он же f(x) придётся поискать среди значений функции в точках графика

       1 >>> a, b = -6,3
       2 >>> n = 100
       3 >>> X = [scale(i,0,n-1,a,b) for i in range(n)]
       4 >>> X[0]
       5 -6.0
       6 >>> X[-1]
       7 3.0
       8 >>> f=sin
       9 >>> Y = [f(x) for x in X]
      10 >>> ymin, ymax = min(Y), max(Y)
      11 >>> ymin, ymax
      12 (-0.9996789142433975, 0.9998892390840102)
      13 
    

    • Обратите внимание на то, что диапазон оказался близок, но не равен диапазону «настоящего» синуса (-1 … 1; а почему не равен?)
  • Что касается координат на экране, то они совсем другие. Они зависят от размеров окна (минус размер рамки)

    •    1 >>> reset()
         2 >>> window_width()
         3 800
         4 >>> window_height()
         5 900
         6 >>> Border = 20 # Отступ от края окна
         7 >>> Left, Right = -window_width()/2+Border, window_width()/2-Border
         8 >>> Bottom, Top = -window_height()/2+Border, window_height()/2-Border
         9 >>> Left, Right, Bottom, Top
        10 (-380.0, 380.0, -430.0, 430.0)
        11 >>> for x in Left, Right:
        12         for y in Bottom, Top:
        13                 goto(x,y)
        14 
      

  • Всё готово. Нам нужно нарисовать на экране, координаты которого меняются от Left до Right по x и от Bottom до Top по y, график функции f(x) на n точках в диапазоне от a до b, зная, что f(x) на этом диапазоне принимает значения от miny дол maxy.

    • вычислим координаты точек на экране и нарисуем график!

         1 graphX = [scale(x, a, b, Left, Right) for x in X]
         2 graphY = [scale(y, ymin, ymax, Bottom, Top) for y in Y]
         3 for i in range(len(graphX)):
         4     goto(graphX[i],graphY[i])
         5 
      

  • Замечание: надо было сначала переместиться на нулевую точку графика в режиме penup()

  • Использование конструкции range(len(graphX)) наводит на мысль, что так можно было не делать. Действительно, можно было воспользоваться functions.html:

    •    1 for x,y  in zip(graphX, graphY):
         2     goto(x,y)
         3 
      

• TODO

• Работа с eval()

Д/З

0. Внезапно — ничего из учебника, TODO про масштабирование и графики-ломаные — где?

   • Про черепашку

1. TODO

2. Ввести отрезок, количество точек и ширину экрана, вывести абсциссы точек на экране

3. Ввести отрезок, количество точек, а также строку — функцию от x (например, x*sin(x**2)), вывести координаты исходных точек графика

4. Ввести отрезок, количество точек, ширину и высоту экрана, а также строку — функцию от x (например, x*sin(x**2)), вывести координаты точек графика на экране

5. Нарисовать всё это черепашкой
   • Нарисовать оси координат
   • Что делать, если оси координат лежат в стороне от графика, а рисовать их надо?