2276
Комментарий:
|
10475
|
Удаления помечены так. | Добавления помечены так. |
Строка 4: | Строка 4: |
== Про графики == Базовая статья: FrBrGeorge/PythonScaleAndRotate |
|
Строка 8: | Строка 9: |
* Ограничения по началу и концу * Количество точек в графике? ⇒ отрезки * ⇒ ломаная |
* Ограничения по началу и концу (не бесконечный, а от A до B) * Количество точек в графике? Бесконечно много! * ⇒ отрезки, а не непрерывная кривая * ⇒ ломаная (N точек, N-1 отрезок) |
Строка 12: | Строка 14: |
* Масштаб по X и Y | * Повторение: циклический конструктор списка: {{{ [ выражение for имя in последователоьность ] или [ выражение for имя, имя in последователоьность_пар] и т. п. Например, [i*2+1 for i in range(6)] }}} * Подготовим черепашье поле {{{#!python >>> from math import * >>> from turtle import * >>> reset() }}} * Точки — это пары координат (x, y) * График — это последовательность таких пар, например {{{#!python >>> graph = [(-200, -119), (-160, -100), (-120, -57), (-80, 0), (-40, 57), (0, 100), (40, 119), (80, 109), (120, 71), (160, 16), (200, -42)] >>> def drawgraph(gr): penup() # Сначала перейдём на начало графика for x,y in gr: goto(x,y) pendown() >>> drawgraph(graph) }}} * Попробуем нарисовать график синуса: {{{#!python >>> reset() >>> graph = [(i,sin(i)) for i in range(-100,100)] >>> drawgraph(graph) }}} Фигня какая-то: волняшки слишком частые, но слишком невысокие * Масштаб по X и Y: {{{#!python >>> reset() >>> graph = [(i,sin(i/20)*60) for i in range(-100,100)] >>> drawgraph(graph) }}} Но это уже непонятно чего график. В каких границах? === Попробуем разобраться === В следующих примерах окно `python3` не надо закрывать, иначе придётся заново импортировать `math`, `turtle` и определять функции `drawgraph()` и `scale()` Ну, или положить код в файл :) |
Строка 14: | Строка 61: |
* Количество замеров * В заборе 10 досок, значит, в нём 9 дыр! * Функция масштабирования+переноса (да, это аффинные преобразования, только никому не говорите, а то испугаются) |
* В заборе 10 досок, значит, в нём 9 щелей! * Количество замеров: график функции `f(x)` на интервале `[a,b]` * — это ломаная, которая начинается в точке `(a,f(a))`, а заканчивается в точке `(b, f(b))`. * Если в ней `N` вершин, то отрезков в ней `N-1`. * Абсциссы вершин находятся на равном расстоянии друг от друга, т. е. на расстоянии `(b-a)/(N-1)` * Допустим, вершин у нас `10`, значит, отрезков `9`; допусти также, что `a=-6`, `b=3` * Расстояние между абсциссами `(3-(-6))/9 == 1` * абсцисса 0-й вершины — начало интервала, `a`, т. е. `-6` * абсцисса 1-й вершины — начало отрезка + первый отрезок, т. е `a+(b-a)/(N-1)`, т. е. `-6+1*1 == -5` * абсцисса 2-й вершины — начало отрезка + первых два отрезка, т. е `a+2*(b-a)/(N-1)`, т. е. `-6+2*1 == -4` * … * абсцисса 8-й (№ N-2) вершины — `a+(N-2)*(b-a)/(N-1)`, т. е. `-6+8*1 == 2` * абсцисса 9-й (№ N-1) вершины — `a+(N-1)*(b-a)/(N-1)`, т. е. `-6+9*1 == 2` (т. е. `b`) {{{#!highlight pycon >>> a, b = -6, 3 >>> N=10 >>> X = [a+i*(b-a)/(N-1) for i in range(N)] >>> X [-6.0, -5.0, -4.0, -3.0, -2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0] }}} Соответственно, значения функции `f(x)` в этих точках (предположим, `f` — это `sin`): {{{#!highlight pycon >>> from math import * >>> f=sin >>> Y = [f(x) for x in X] >>> Y [0.27941549819892586, 0.9589242746631385, 0.7568024953079282, -0.1411200080598672, -0.9092974268256817, -0.8414709848078965, 0.0, 0.8414709848078965, 0.9092974268256817, 0.1411200080598672] }}} * Функция масштабирования+переноса (да, это аффинные преобразования, только никому не говорите, а то испугаются). * (см. [[FrBrGeorge/PythonScaleAndRotate|статью]]) Чтобы превратить точку x,,0,, из диапазона a,,0,,,b,,0,, в точку x,,1,, из диапазона a,,1,,,b,,1,,, надо: * составить пропорцию x,,0,, делит отрезок a,,0,,,b,,0,, в той же пропорции, что и x,,1,, делит отрезок a,,1,,,b,,1,, * т. е. (x,,0,,-a,,0,,)/(b,,0,,-a,,0,,) = (x,,1,,-a,,1,,)/(b,,1,,-a,,1,,) * и x,,1,, = (x,,0,,-a,,0,,)/(b,,0,,-a,,0,,)*(b,,1,,-a,,1,,)+a,,1,, {{attachment:prop.png}} * Напишем функцию `scale()`, которая это вычисляет: {{{#!highlight pycon >>> def scale(x, a0, b0, a1, b1): """превратить точку x из диапазона a0,b0 в точку x1 из диапазона a1,b1""" return (x-a0)/(b0-a0)*(b1-a1)+a1 >>> scale(10,-100,100,-10,10) 1.0 }}} * То есть список из N штук x-координат точек графика можно представить как `scale()` счётчика `i` из диапазона 0,N-1 в диапазон a,b: {{{#!highlight pycon >>> N=10 >>> a,b = -6, 3 >>> X = [a+i*(b-a)/(N-1) for i in range(N)] >>> X [-6.0, -5.0, -4.0, -3.0, -2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0] >>> X = [scale(i, 0, N-1, a, b) for i in range(N)] >>> X [-6.0, -5.0, -4.0, -3.0, -2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0] }}} |
Строка 18: | Строка 116: |
* Вычисление масштаба и смещения по X * Вычисление масштаба и смещения по Y=f(X) * Требуют нахождения max() и min() |
* Таким образом, в ''исходном'' графике функции `f(x)` x-коорднаты меняются в заданном интервале, а x-координаты — в пределах области значений функции `f(x)` на этом интервале. Диапазон по `x` мы задаём, а вот диапазон по `y`, он же `f(x)` придётся поискать среди значений функции в точках графика {{{#!highlight pycon >>> a, b = -6,3 >>> n = 100 >>> X = [scale(i,0,n-1,a,b) for i in range(n)] >>> X[0] -6.0 >>> X[-1] 3.0 >>> f=sin >>> Y = [f(x) for x in X] >>> ymin, ymax = min(Y), max(Y) >>> ymin, ymax (-0.9996789142433975, 0.9998892390840102) }}} Обратите внимание на то, что диапазон оказался близок, но не равен диапазону «настоящего» синуса (-1 … 1; а почему не равен?) * Что касается координат на экране, то они совсем другие. Они зависят от размеров окна (минус размер рамки) {{{#!highlight pycon >>> reset() >>> window_width() 800 >>> window_height() 900 >>> Border = 20 # Отступ от края окна >>> Left, Right = -window_width()/2+Border, window_width()/2-Border >>> Bottom, Top = -window_height()/2+Border, window_height()/2-Border >>> Left, Right, Bottom, Top (-380.0, 380.0, -430.0, 430.0) >>> for x in Left, Right: for y in Bottom, Top: goto(x,y) }}} * Всё готово. Нам нужно нарисовать на экране, координаты которого меняются от `Left` до `Right` по `x` и от `Bottom` до `Top` по `y`, график функции `f(x)` на `n` точках в диапазоне от `a` до `b`, зная, что `f(x)` на этом диапазоне принимает значения от `miny` дол `maxy`. * вычислим координаты точек на экране и нарисуем график! {{{#!highlight pycon graphX = [scale(x, a, b, Left, Right) for x in X] graphY = [scale(y, ymin, ymax, Bottom, Top) for y in Y] for i in range(len(graphX)): goto(graphX[i],graphY[i]) }}} * '''Замечание''': надо было сначала переместиться на нулевую точку графика в режиме `penup()` * Использование конструкции `range(len(graphX))` наводит на мысль, что так можно было не делать. Действительно, можно было воспользоваться [[py3doc:functions.html#zip]]: {{{#!highlight pycon for x,y in zip(graphX, graphY): goto(x,y) }}} * '''TODO''' * Работа с `eval()` |
Построение графика функции
Разбор Д/З
Про графики
Базовая статья: FrBrGeorge/PythonScaleAndRotate
- Что такое график?
- Отображение точек x:f(x)
- ⇒ f(x) должно ∃
Ограничения по началу и концу (не бесконечный, а от A до
- Количество точек в графике? Бесконечно много!
- ⇒ отрезки, а не непрерывная кривая
- ⇒ ломаная (N точек, N-1 отрезок)
- Черепашка и график синуса
- Повторение: циклический конструктор списка:
[ выражение for имя in последователоьность ] или [ выражение for имя, имя in последователоьность_пар] и т. п. Например, [i*2+1 for i in range(6)]
- Подготовим черепашье поле
- Точки — это пары координат (x, y)
- График — это последовательность таких пар, например
- Попробуем нарисовать график синуса:
- Фигня какая-то: волняшки слишком частые, но слишком невысокие
- Масштаб по X и Y:
- Но это уже непонятно чего график. В каких границах?
- Повторение: циклический конструктор списка:
Попробуем разобраться
В следующих примерах окно python3 не надо закрывать, иначе придётся заново импортировать math, turtle и определять функции drawgraph() и scale()
Ну, или положить код в файл
- График как список координат
- В заборе 10 досок, значит, в нём 9 щелей!
Количество замеров: график функции f(x) на интервале [a,b]
— это ломаная, которая начинается в точке (a,f(a)), а заканчивается в точке (b, f(b)).
Если в ней N вершин, то отрезков в ней N-1.
Абсциссы вершин находятся на равном расстоянии друг от друга, т. е. на расстоянии (b-a)/(N-1)
Допустим, вершин у нас 10, значит, отрезков 9; допусти также, что a=-6, b=3
Расстояние между абсциссами (3-(-6))/9 == 1
абсцисса 0-й вершины — начало интервала, a, т. е. -6
абсцисса 1-й вершины — начало отрезка + первый отрезок, т. е a+(b-a)/(N-1), т. е. -6+1*1 == -5
абсцисса 2-й вершины — начало отрезка + первых два отрезка, т. е a+2*(b-a)/(N-1), т. е. -6+2*1 == -4
- …
абсцисса 8-й (№ N-2) вершины — a+(N-2)*(b-a)/(N-1), т. е. -6+8*1 == 2
абсцисса 9-й (№ N-1) вершины — a+(N-1)*(b-a)/(N-1), т. е. -6+9*1 == 2 (т. е. b)
Соответственно, значения функции f(x) в этих точках (предположим, f — это sin):
- Функция масштабирования+переноса (да, это аффинные преобразования, только никому не говорите, а то испугаются).
(см. статью) Чтобы превратить точку x0 из диапазона a0,b0 в точку x1 из диапазона a1,b1, надо:
составить пропорцию x0 делит отрезок a0,b0 в той же пропорции, что и x1 делит отрезок a1,b1
т. е. (x0-a0)/(b0-a0) = (x1-a1)/(b1-a1)
и x1 = (x0-a0)/(b0-a0)*(b1-a1)+a1
Напишем функцию scale(), которая это вычисляет:
То есть список из N штук x-координат точек графика можно представить как scale() счётчика i из диапазона 0,N-1 в диапазон a,b:
- Координаты исходного графика vs координаты на экране
Таким образом, в исходном графике функции f(x) x-коорднаты меняются в заданном интервале, а x-координаты — в пределах области значений функции f(x) на этом интервале. Диапазон по x мы задаём, а вот диапазон по y, он же f(x) придётся поискать среди значений функции в точках графика
- Обратите внимание на то, что диапазон оказался близок, но не равен диапазону «настоящего» синуса (-1 … 1; а почему не равен?)
- Что касается координат на экране, то они совсем другие. Они зависят от размеров окна (минус размер рамки)
1 >>> reset() 2 >>> window_width() 3 800 4 >>> window_height() 5 900 6 >>> Border = 20 # Отступ от края окна 7 >>> Left, Right = -window_width()/2+Border, window_width()/2-Border 8 >>> Bottom, Top = -window_height()/2+Border, window_height()/2-Border 9 >>> Left, Right, Bottom, Top 10 (-380.0, 380.0, -430.0, 430.0) 11 >>> for x in Left, Right: 12 for y in Bottom, Top: 13 goto(x,y) 14
Всё готово. Нам нужно нарисовать на экране, координаты которого меняются от Left до Right по x и от Bottom до Top по y, график функции f(x) на n точках в диапазоне от a до b, зная, что f(x) на этом диапазоне принимает значения от miny дол maxy.
- вычислим координаты точек на экране и нарисуем график!
Замечание: надо было сначала переместиться на нулевую точку графика в режиме penup()
Использование конструкции range(len(graphX)) наводит на мысль, что так можно было не делать. Действительно, можно было воспользоваться functions.html:
TODO
Работа с eval()
Д/З
Внезапно — ничего из учебника, TODO про масштабирование и графики-ломаные — где?
- Про черепашку
TODO
- Ввести отрезок, количество точек и ширину экрана, вывести абсциссы точек на экране
Ввести отрезок, количество точек, а также строку — функцию от x (например, x*sin(x**2)), вывести координаты исходных точек графика
Ввести отрезок, количество точек, ширину и высоту экрана, а также строку — функцию от x (например, x*sin(x**2)), вывести координаты точек графика на экране
- Нарисовать всё это черепашкой
- Нарисовать оси координат
- Что делать, если оси координат лежат в стороне от графика, а рисовать их надо?